No início dos anos sessenta, a corrida espacial entre a agência espacial americana NASA e o correspondente programa soviético envolveu a solução de diversos problemas desafiadores. Um deles era a habilidade de rendezvous (acoplamento) entre duas espaçonaves em órbita. O primeiro rendezvous foi efetuado pelos americanos na missão Gemini 8, comandada por Neil Armstrong, que posteriormente viria a ser o primeiro homem a pisar na Lua. Dentre os vários aspectos interessantes do problema do acoplamento em órbita, citamos o seguinte resultado paradoxal: considerando duas espaçonaves em uma mesma órbita próxima à Terra, se uma delas acionar seus foguetes com o intuito de aumentar a velocidade para alcançar a segunda espaçonave, acabará por ficar mais lenta. O objetivo deste artigo é analisar tais resultados, que resultam do fato de que altitude e velocidade são correlacionadas quando consideramos as equações de corpos em queda livre de acordo com as leis da gravitação.

In the early sixties, the space race between the American agency NASA and its Soviet counterpart involved the solution of several challenges. One of them was the ability of rendezvous between two orbiting spacecrafts. The Americans did the first successful rendezvous in the Gemini 8 mission commanded by Neil Armstrong, who years later would become the first man to set foot on the moon. Among the several interesting aspects of manned orbital rendezvous we cite the following paradox: considering two spacecrafts in the same near earth orbit, if one of them accelerates in order to catch up with the other, it will ultimately left behind. In this paper we analyze such counter intuitive results, which follows from the fact that altitude and velocity are correlated when we consider the equations governing free falling bodies, according Newton’s Universal Gravitational Law.

In this paper we analyze a model for the dynamics of the immune system interacting with a target population. The model consists in a set of two-dimensional delayed differential equations. The model is effectively infinite dimensional due to the presence of the delay and chaotic regimes can be supported. We show that a delayed response induces sustained oscillations and larger delay times implies in a series of bifurcations leading to chaos. The characteristic exponent of the critical power law relaxation towards the stationary state is obtained as well as the critical exponent governing the vanishing of the order parameter in the vicinity of the chaotic transition.

Grandes terremotos, ruptura em materiais complexos, quebra de bolsa de valores: todos podem ser vistos como catástrofes - a repentina transição de um estado calmo para uma crise. Seria possível uma previsão desses eventos? Uma abordagem unificada para a modelagem e previsão de catástrofes foi proposto por D. Sornette, numa teoria baseada no conceito de log-periodicidade. Neste artigo discutimos o potencial de previsibilidade dessa teoria e a demonstramos em problemas relacionados a quebras de bolsas de valores. Também apresentamos um estudo inédito do método de previsão ao Índice da Bolsa de Valores de São Paulo, IBOVESPA. Buscamos evidências de comportamento log-periódico, comparando um período sem quebras com o período antes da quebra de 14 de janeiro de 1999. A eficiência e a relativa simplicidade do método servem de grande incentivo a estudantes de graduação, sempre ávidos para ver a teoria sendo posta em prática.

Large earthquakes, rupture in complex materials, stock market crashes: all can be viewed as catastrophes - the sudden transition from a quit state to a crisis. Would it be possible to forecast these events? A unified framework for the modeling and forecasting of catastrophes was proposed by D. Sornette, based on the concept of log-periodicity. In this article we discuss the potential for predictability of this theory and we illustrate it in problems related to stock market crashes. We study this method of forecasting applied to the the stock market index of the BOVESPA São Paulo Stock Exchange, IBOVESPA. We seek evidence of log-periodic behavior, comparing a period without crashes to the period before the crash of 14 January 1999. The efficiency and the relative simplicity of the method serve as incentive to undergraduate students eager to see the theory being put to practice.

Neste texto fazemos um apanhado inicial e geral das principais idéias relacionadas à teoria dos sistemas complexos.

We survey some notions related to complex systems theory.